САМОЛЕТ КАК ОБЪЕКТ РЕГУЛИРОВАНИ. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

Движение самолета может быть определено в различных си­стемах координат. При рассмотрении процесса посадки возникает необходимость анализа движения самолета относительно различ­ных точек земной поверхности и земных ориентиров: ВПП, радио­маяков и т. п. В этих случаях удобно использовать системы коор­динатных осей, связанных с Землей.

В общем случае направление системы земных осей Oxgygzg вы­бирается таким, что взаимно перпендикулярные оси Oxg (рис. 1.1) и Ozg лежат в горизонтальной плоскости, а ось Oyg направлена по геоцентрической вертикали вверх. Система координат — правая. Поскольку последний участок траектории захода на посадку в го­ризонтальной плоскости, как правило, совпадает с продолжением оси ВПП, часто оказывается удобным совмещать горизонтальную ось Oxg с направлением оси ВПП.

Тогда линейная координата xg будет характеризовать расстоя­ние самолета до точки О, выбранной в качестве начала координат. Если, например, за начало координат принять заданную точку при­земления самолета, то по оси Oxg определяется расстояние самоле­та до этой точки вдоль заданной траектории, а по оси Ozg — линей­ное боковое отклонение от нее. Линейная координата yg характери­зует высоту полета относительно точки О.

Начало координат других применяемых систем располагается в центре масс самолета. Поэтому переход от земной системы ко­ординат к другим и наоборот осуществляется наиболее просто в тех случаях, когда начало земных осей также расположено в центре масс самолета, что и применяется в ряде случаев.

Наконец, в некоторых случаях целесообразно направлять ось Oxg на север, по касательной к географическому меридиану; оче­видно, при этом ось Ozg оказывается направленной на восток. Так удобно поступать при решении навигационных задач, связанных с маневрированием по сложным траекториям.

Рассматривая самолет как твердое тело, для определения его угловых положений в земной системе координат необходимо задать

положение системы координат, жест­ко связанной с самолетом OxyZ (рис. 1.2). Начало этой так называе­мой связанной системы координат помещают в центре масс самолета. Оси Ох и Оу располагают в верти­кальной плоскости симметрии само­лета, а ось Oz — перпендикулярно этой плоскости. Ось Ох і направля­ют по продольной оси самолета впе­ред, а ось Oyi — перпендикулярно ей вверх. Продольная ось О*] вмес­те с нормальной осью Oyt и попе­речной осью Oz образует правую систему координат. Тогда угловые положения связанной системы коор­динат OXiyiZi относительно земной системы Oxgygzg определяются угла­ми рысканья — ф, тангажа О и крена у (рис. 1.3).

Угол рысканья измеряется меж­ду направлением проекции оси Ох на горизонтальную плоскость Ох’ и направлением оси 0%. Угол рысканья образуется в результате поворота самолета вокруг оси Oyg на угол г|>. В случае когда ось Oxg ориентирована на север, этот угол связан с истинным курсом г|щ само­лета зависимостью г|з = ЗвО°—фи.

Угол тангажа измеряется между направлением продольной оси само­лета Ох и горизонтальной плос­костью. Угол тангажа получается в результате поворота самолета вок­руг оси Oz’, образованной поворо­том на угол г)з оси Ozg, на угол й’.

Угол крена измеряется между направлением поперечной оси само­лета Oz и горизонтальной плоско­стью. Он образуется в результате поворота самолета вокруг оси Ох і на угол у.

При исследовании действия аэродинамических сил и моментов часто оказывается удобным использовать скоростную систему ко­ординат Oxyz (рис. 1.4), связанную с вектором скорости полета V, направленным по касательной к траектории самолета. Начало этой

системы координат также распо­лагают в центре масс. Ось Ох на­правляют по вектору скорости полета; ось Оу, лежащую в вер­тикальной плоскости, — перпен­дикулярно оси Ох; ось Oz перпен­дикулярна к плоскости хОу и об­разует с осями Ох, Оу правую систему координат.

Проекция вектора полной аэродинамической силы (резуль­тирующей аэродинамических сил, действующих на самолет) R (рис. 1.5) на ось Ох называется силой лобового сопротивления X, проек­ция на ось Оу — подъемной си­лой Y, проекция на ось Oz — бо­ковой силой Z. Аналогично про­екции вектора полного аэродина­мического момента М (рис. 1.6) на соответствующие оси скорост­ной системы координат получили название момента крена Мх, мо­мента рысканья Му, момента тан­гажа мг.

Взаимное расположение ско­ростной и связанной систем ко­ординат определяется углом ата­ки а и углом скольжения р (рис. 1.7, а). Угол атаки а лежит между продольной осью самоле­та Ох и проекцией вектора ско­рости полета на плоскость сим­метрии самолета хОу, а угол скольжения р — между направ­лением вектора скорости полета и плоскостью симметрии. Очевид­но, при условии а=ір = 0 скорост­ная и связанная системы коорди­нат совпадают друг с другом.

Взаимное расположение ско­ростной и земной систем коорди­нат определяется углом 0 накло­на траектории самолета относи­тельно горизонтальной плоскости и путевым углом 0г (рис. 1.7, б). Угол 0 измеряется между векто­ром скорости V и плоскостью

XgOzg, а угол 0Г—между проекцией вектора скорости на эту плос­кость и осью Oxg.

При продувке моделей самолетов в аэродинамических трубах величины аэродинамических коэффициентов определяют в полусвя — заяной системе координат Ox2y2z2 (рис. 1.8, а). Ось Ох2 направлена параллельно проекции вектора скорости полета на плоскость сим­метрии самолета ХОу, а ось Оу2, расположенная в этой плоскости перпендикулярно оси Ох2, совпадает с направлением подъемной си­лы. Ось Oz2 перпендикулярна плоскости х20у2. Нетрудно увидеть, что система полусвязанных осей повернута вокруг оси Oz2 на угол атаки а относительно системы связанных осей. Скоростная система координат повернута вокруг оси Оу на угол скольжения р относи­тельно полусвязанной системы (рис. 1.8, б). Заметим, что в случае

отсутствия скольжения ((3 = 0) полусвязанная и скоростная систе­мы координат совпадают.

Для облегчения перехода от одной системы координат к другой пользуются заранее подготовленными таблицами направляющих косинусов [27], [12].

§ 2. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА

Во время захода на посадку самолет должен лететь по задан­ной траектории, а параметры его движения (скорость и высота по­лета, угол атаки, крен и др.) должны изменяться по определенному закону. Это движение является основным (ведущим, про­граммным). Вследствие возмущений внешней среды, изменения тяги двигателей, отклонения рулей и других причин происходит на­рушение основного движения. Вновь образовавшееся движение называется возмущенным в отличие от исходного (н е в о з м у — щеиного) движения, причем исходное движение не обязательно должно быть установившимся. Так, в процессе выхода самолета на заданную траекторию снижения меняются скорость и высота поле­та, углы атаки и тангажа и др. Тем не менее это неустановившееся движение самолета может быть принято за невозмущенное.

После прекращения действия причины, вызвавшей возмуще­ние, движение вновь становится невозмущенным, если оно устой­чиво. Напротив, движение является неустойчивым, если воз­мущенное движение продолжает еще больше отклоняться от основ­ного после окончания действия причины, вызвавшей возмущение. Иначе говоря, под устойчивостью самолета понимается его способность самостоятельно, без вмешательства летчика, возвра­щаться к исходному режиму полета после прекращения действия причины, вызвавшей возмущение.

Современный пассажирский самолет обладает в эксплуатацион­ном диапазоне режимов полета продольной и боковой устойчиво­стью. С помощью систем автоматического управления может быть обеспечено устойчивое движение самолета при полете по заданному курсу на заданной высоте; в общем случае — устойчивость на за­данной траектории.

С характеристиками устойчивости самолета тесно связаны две другие важные характеристики: управляемость и маневренность.

Под управляемостью понимается способность самолета реагировать изменением соответствующих внешних сил при воздей­ствии летчика на органы управления непосредственно или через систему автоматического управления. Управляемость характеризу­ется величиной отклонений органов управления, величиной усилий, необходимых для их отклонения, и быстротой изменения внеш­них сил.

Под маневренностью понимается способность самолета изменять свои кинематические характеристики движения (скорость, курс и т. д.).

Исследование характеристик устойчивости, управляемости и маневренности (в том числе и самолета с системой автоматического управления) базируется на исследовании возмущенного движения самолета. Уравнения возмущенного движения получаются из общих уравнений движения.

Самолет является сложной динамической системой с большим числом степеней свободы. Система дифференциальных уравнений, описывающих движение самолета, получается настолько сложной и громоздкой, что оказывается совершенно непригодной для решения практических задач.

Вместе с тем для практических целей вполне допустимо исполь­зовать уравнения движения самолета, основанные на предпосылке, что самолет представляет собой твердое тело, масса и инерцион­ные характеристики которого являются функцией времени. Тогда движение самолета описывается шестью дифференциальными урав­нениями равновесия сил и моментов и шестью кинематическими уравнениями линейных и угловых координат самолета [12]:

mV х, + пЮуУ Zt = F Xl-

т К, Vх,—шху Zt) = РУг;

mV 2г — ти>уу Xz = Fz,;

1 — 1уЛ,*"*, + 1 z,^z,^y, — f Ixy, (%ж®гг — “yj — Мхг

1У2ШУ2 —1 z^x^z, + /x^X.,mza — /xy, K2“>*2 +<*>x,)=My,

Iz2<°z2 — ^y2 (“у г~шхг) = М2г;

< (ТІ)

xg = Vхг cos 0 cos (Jj-f — VZt (sin t sin 0 cos cos 7 sin ф); i)g=Vx, sin 0— V za sin 7 cos 0;

zg= — VXa cos 0 sinV Zt (cos 7 cos 0 — sin 7 sin 0 sii] Ф);

7 = «>х, — “y, tg 0 cos 7 — f u>*, tg 0 sin 7;

4» = (<0у, cos 7 — u>z2 sin 7) sec 0;

® — шу> sin 7 t(°*2 cos 7, J

где m —масса самолета;

Vv , VZ/t—проекции скорости центра масс на оси полусвязаиной системы координат;

0,лу wi/2’ 0:>z2—проекции угловой скорости самолета на оси полусвя — занной системы координат;

ы’г—проекция угловой скорости полусвязанной системы координат относительно земной;

/г. I/г>—осевые моменты инерции самолета в полусвязанной системе координат;

1ку —центробежный момент инерции самолета;

Fv, Fyt, FZz— проекции равнодействующей внешних сил, приведен — 1 ной к центру масс самолета, на оси полусвязанной си­

стемы координат;

Afr„ , Мг—проекции момента внешних сил относительно центра инерции на оси полусвязанной системы координат.

Однако и эти уравнения оказываются малопригодными для це­лей исследования характеристик движения самолета, поскольку, как правило, это нелинейные дифференциальные уравнения с пере­менными коэффициентами, т. е. коэффициентами, зависящими от времени.

Вследствие этого приходится идти на ряд упрощений, допусти­мых при анализе основных характеристик движения самолета. К ним, прежде всего, относится допущение о возможности линеари­зации уравнений движения при помощи метода малых возмущений.

Метод малых возмущений предполагает, что параметры возму­щенного движения динамической системы, возникшего вследствие нарушения первоначально невозмущенного движения, изменяются на очень малые величины, называемые вариациями этих пара­метров. Предположение о малости отклонений позволяет считать, что квадраты, высшие степени и произведения этих отклонений пренебрежимо малы по сравнению с их первыми степенями.

Аналитически линеаризация сводится к разложению нелинейных функций в ряд Тейлора по степеням отклонения и отбрасыванию всех членов выше первого порядка малости. Напомним, что графи­чески линеаризация означает замену кривой отрезком прямой, касательной к ней в точке, соответствующей невозмущенному дви­жению.

Линейные уравнения, полученные путем отбрасывания нелиней­ных частей, называют уравнениями первого (линейного) приближе­ния или уравнениями в отклонениях (вариациях).

Здесь нужно отметить два обстоятельства. Если уравнение опи­сывает систему с нелинеаризируемыми нелинейными элементами, т. е. такими, которые не могут быть заменены линейными или от­брошены как несущественные, то в этом случае метод малых воз­мущений принципиально не применим. С другой стороны, при ли­неаризации, выполняемой с учетом реальных условий задачи, может оказаться, что в целом нелинейная функция (например, Су=су(а) в большой окрестности точки, соответствующей начально невозмущенному движению, имеет линейный характер. В таком случае возмущения могут считаться малыми в пределах всей этой окрестности.

Итак, в результате линеаризации исходных уравнений движе­ния получается система уравнений, описывающих движение линей­ной модели самолета. Поскольку эти уравнения имеют переменные коэффициенты, то следующие упрощения связаны с возможностью замены их уравнениями с постоянными коэффициентами. Такая замена оказывается возможной при использовании методов «за­мороженных коэффициентов» [26].

Этот метод основывается на предположении, что продолжитель­ность переходных процессов при возникновении возмущений неве­лика, так что за это время характеристики основного (невозмущен­ного) движения изменяются существенно слабее, чем характери­стики возмущений. Иначе говоря, считается, что переходный процесс успевает закончиться прежде, чем произойдут сравнитель­но большие изменения характеристик основного движения. Тогда кинематические характеристики основного движения можно поло­жить постоянными в течение всего интервала времени возмущенно­го движения и равными по величине их значениям в начале этого интервала.

Далее, сильно упрощающим является допущение о возможности разделения системы дифференциальных уравнений движения на две независимые системы: систему, описывающую продольное воз­мущенное движение, которое происходит в плоскости симметрии самолета ХОу, и систему, описывающую боковое возмущенное движение самолета, которое происходит в плоскостях yOz^ и xiOz. Это допущение, основанное на учете симметричности самоле­та относительно плоскости ХОу, наиболее справедливо для случая, когда в качестве основного невозмущенного движения принят уста­новившийся прямолинейный полет. В этом случае силы и моменты, действующие на самолет в плоскости симметрии ХОу, не зависят от параметров бокового движения (р, у, ф, а>х, (о^), а силы и момен­ты, действующие в двух боковых плоскостях, — от параметров про­дольного движения (а, ‘0, 8, V, <bz) ‘.

Наконец, остановимся еще на одном важном вопросе. В общем случае движение самолета является неустановившимся. Поскольку при этом происходит обтекание самолета неустановившимся пото­ком воздуха, то аэродинамические силы и их моменты зависят не только от углов атаки и скольжения, скорости и высоты полета, углов отклонения рулей, но и от их производных по времени, что чрезвычайно усложняет исследование характеристик движения [28].

В связи с этим при исследовании неустановившегося движения самолета используется гипотеза стационарности, которая формулируется следующим образом: аэродинамические си­лы и моменты, действующие на самолет в неустановившемся полете в данный момент времени, такие же, какими они были бы при обтекании стационарным потоком, т. е. определяются только кинематическими характеристиками движения в данный момент. Применение гипотезы стационарности основывается на том, что при неустановившемся движении самолета изменение кинематических характеристик движения: углов атаки и скольжения, скорости и высоты полета происходит сравнительно медленно и нестационар — ность обтекания на величины аэродинамических сил и моментов сказывается незначительно.

В соответствии с гипотезой стационарности аэродинамические

1 Подробно эти вопросы освещены в работе [28].

силы являются функциями углов атаки и скольжения, скорости и высоты полета, углов отклонения рулей; аэродинамические момен­ты являются функцией этих же аргументов и угловой скорости вра­щения самолета вокруг центра масс.

В результате всех рассмотренных выше упрощений удается по­лучить две системы дифференциальных уравнений, достаточно приемлемых для исследования динамики полета самолета.